Solution 1 to problem over
Expressions |
Parameters |
Inequalities |
Relevance |
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Expressions
The solution is given through the following expressions:
r30=0
r31=0
r32=0
r33=0
r34=0
r35=0
r36=0
r37=0
r38=0
r39=0
r310=0
r311=0
r312=0
r313=0
r314=0
r315=0
r327
r316=------
2
1
- ---*b2*r327
2
r317=----------------
b3
1
- ---*b1*r327
2
r318=----------------
b3
1
- ---*a3*r327
2
r319=----------------
b3
r320=0
r321=0
r322=0
r323=0
r324=0
r325=0
b2*r327
r326=---------
b3
r328=0
1
- ---*a2*r327
2
r329=----------------
b3
- r327
r330=---------
2
1
---*b2*r327
2
r331=-------------
b3
1
- ---*b1*r327
2
r332=----------------
b3
1
- ---*a3*r327
2
r333=----------------
b3
1
- ---*a2*r327
2
r334=----------------
b3
r335=0
r336=0
r337=0
r338=0
r339=0
r340=0
b1*r327
r341=---------
b3
r342=0
r343=r327
1 1
---*a2*b2*r327 + ---*a3*b3*r327
2 2
r344=---------------------------------
b1*b3
r345=0
b1*r327
r346=---------
b3
b2*r327
r347=---------
b3
r348=0
1 1
---*a2*b2*r327 + ---*a3*b3*r327
2 2
r349=---------------------------------
b1*b3
- r327
r350=---------
2
1
- ---*b2*r327
2
r351=----------------
b3
1
---*b1*r327
2
r352=-------------
b3
1
- ---*a3*r327
2
r353=----------------
b3
1
- ---*a2*r327
2
r354=----------------
b3
1 1
---*a2*b2*r327 + ---*a3*b3*r327
2 2
r355=---------------------------------
b1*b3
c33=0
c23=0
c22=0
c13=0
c12=0
c11=0
b33=0
b32= - a2*b3 + a3*b2
2 2
a2*b2*b3 + a3*b1 + a3*b3
b31=----------------------------
b1
b23=a2*b3 - a3*b2
b22=0
2 2
a2*b1 + a2*b2 + a3*b2*b3
b21=----------------------------
b1
2 2
- a2*b2*b3 - a3*b1 - a3*b3
b13=-------------------------------
b1
2 2
- a2*b1 - a2*b2 - a3*b2*b3
b12=-------------------------------
b1
b11=0
1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2
a33=(---*a2 *b1 + ---*a2 *b2 + a2*a3*b2*b3 + a3 *b1 + ---*a3 *b3
2 2 2
1 2 2 2
- ---*b1 *b3 *kap)/b1
2
1 1
a23=---*a2*a3 - ---*b2*b3*kap
2 2
2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2
a22=(a2 *b1 + ---*a2 *b2 + a2*a3*b2*b3 + ---*a3 *b1 + ---*a3 *b3
2 2 2
1 2 2 2
- ---*b1 *b2 *kap)/b1
2
1 1 2 1 2
- ---*a2*a3*b2 - ---*a3 *b3 - ---*b1 *b3*kap
2 2 2
a13=-----------------------------------------------
b1
1 2 1 1 2
- ---*a2 *b2 - ---*a2*a3*b3 - ---*b1 *b2*kap
2 2 2
a12=-----------------------------------------------
b1
a11
1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 4
---*a2 *b1 + a2 *b2 + 2*a2*a3*b2*b3 + ---*a3 *b1 + a3 *b3 - ---*b1 *kap
2 2 2
=-----------------------------------------------------------------------------
2
b1
Parameters
Apart from the condition that they must not vanish to give
a non-trivial solution and a non-singular solution with
non-vanishing denominators, the following parameters are free:
r327
Inequalities
In the following not identically vanishing expressions are shown.
Any auxiliary variables g00?? are used to express that at least
one of their coefficients must not vanish, e.g. g0019*p4 + g0020*p3
means that either p4 or p3 or both are non-vanishing.
{{r327,
2 2
a2*b1 *b3*r327 - a3*b1 *b2*r327,
1 1
---*a2*b2*r327 + ---*a3*b3*r327}}
2 2
Relevance for the application:
The system of equations related to the Hamiltonian HAM:
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2
HAM=(u1 *(---*a2 *b1 + a2 *b2 + 2*a2*a3*b2*b3 + ---*a3 *b1 + a3 *b3
2 2
1 4 2 3
- ---*b1 *kap) + u1*u2*( - a2 *b1*b2 - a2*a3*b1*b3 - b1 *b2*kap)
2
2 3
+ u1*u3*( - a2*a3*b1*b2 - a3 *b1*b3 - b1 *b3*kap)
3 2
+ u1*v2*( - a2*b1 - a2*b1*b2 - a3*b1*b2*b3)
3 2 2 2 2 1 2 2
+ u1*v3*( - a2*b1*b2*b3 - a3*b1 - a3*b1*b3 ) + u2 *(a2 *b1 + ---*a2 *b2
2
1 2 2 1 2 2 1 2 2
+ a2*a3*b2*b3 + ---*a3 *b1 + ---*a3 *b3 - ---*b1 *b2 *kap)
2 2 2
2 2
+ u2*u3*(a2*a3*b1 - b1 *b2*b3*kap)
3 2 2 2
+ u2*v1*(a2*b1 + a2*b1*b2 + a3*b1*b2*b3) + u2*v3*(a2*b1 *b3 - a3*b1 *b2)
2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2
+ u3 *(---*a2 *b1 + ---*a2 *b2 + a2*a3*b2*b3 + a3 *b1 + ---*a3 *b3
2 2 2
1 2 2 3 2
- ---*b1 *b3 *kap) + u3*v1*(a2*b1*b2*b3 + a3*b1 + a3*b1*b3 )
2
2 2 2
+ u3*v2*( - a2*b1 *b3 + a3*b1 *b2))/b1
has apart from the Hamiltonian and Casimirs only the following first integral:
4 1 2 2 1 2 2
FI=u1 *( - ---*a2 *b2 - a2*a3*b2*b3 - ---*a3 *b3 )
2 2
3 2 3 2
+ u1 *u2*(a2 *b1*b2 + a2*a3*b1*b3) + u1 *u3*(a2*a3*b1*b2 + a3 *b1*b3)
3 2 3 2
+ u1 *v2*(a2*b1*b2 + a3*b1*b2*b3) + u1 *v3*(a2*b1*b2*b3 + a3*b1*b3 )
2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2
+ u1 *u2 *( - ---*a2 *b1 - ---*a2 *b2 - a2*a3*b2*b3 - ---*a3 *b3 )
2 2 2
2 2 2 2
- u1 *u2*u3*a2*a3*b1 + u1 *u2*v1*( - a2*b1*b2 - a3*b1*b2*b3)
2 2 2 2 2
+ u1 *u2*v2*( - 2*a2*b1 *b2 - a3*b1 *b3) - u1 *u2*v3*a2*b1 *b3
2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2
+ u1 *u3 *( - ---*a2 *b2 - a2*a3*b2*b3 - ---*a3 *b1 - ---*a3 *b3 )
2 2 2
2 2 2 2
+ u1 *u3*v1*( - a2*b1*b2*b3 - a3*b1*b3 ) - u1 *u3*v2*a3*b1 *b2
2 2 2 1 2 2 4
+ u1 *u3*v3*( - a2*b1 *b2 - 2*a3*b1 *b3) + ---*u1 *v1 *b1
2
1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2
- ---*u1 *v2 *b1 *b2 - u1 *v2*v3*b1 *b2*b3 - ---*u1 *v3 *b1 *b3
2 2
3 2 2 2
+ u1*u2 *(a2 *b1*b2 + a2*a3*b1*b3) + u1*u2 *u3*(a2*a3*b1*b2 + a3 *b1*b3)
2 2 2 2 3
+ u1*u2 *v1*(2*a2*b1 *b2 + a3*b1 *b3) + u1*u2 *v2*a2*b1
2 2 2 2
+ u1*u2 *v3*(a2*b1*b2*b3 + a3*b1*b3 ) + u1*u2*u3 *(a2 *b1*b2 + a2*a3*b1*b3)
2 2
+ u1*u2*u3*v1*(a2*b1 *b3 + a3*b1 *b2)
3 2
+ u1*u2*u3*v2*( - a2*b1*b2*b3 + a3*b1 - a3*b1*b3 )
3 2 2 3
+ u1*u2*u3*v3*(a2*b1 - a2*b1*b2 - a3*b1*b2*b3) + u1*u2*v1 *b1 *b2
4 2 2 2 2 3
+ u1*u2*v1*v2*(b1 + b1 *b2 ) + u1*u2*v1*v3*b1 *b2*b3 + u1*u2*v2 *b1 *b2
3 3 2
+ u1*u2*v2*v3*b1 *b3 + u1*u3 *(a2*a3*b1*b2 + a3 *b1*b3)
2 2 2 2 2
+ u1*u3 *v1*(a2*b1 *b2 + 2*a3*b1 *b3) + u1*u3 *v2*(a2*b1*b2 + a3*b1*b2*b3)
2 3 2 3 2
+ u1*u3 *v3*a3*b1 + u1*u3*v1 *b1 *b3 + u1*u3*v1*v2*b1 *b2*b3
4 2 2 3 2 3
+ u1*u3*v1*v3*(b1 + b1 *b3 ) + u1*u3*v2*v3*b1 *b2 + u1*u3*v3 *b1 *b3
1 4 2 2 3 2 3 3 3 2
- ---*u2 *a2 *b1 - u2 *u3*a2*a3*b1 - u2 *v1*a2*b1 - u2 *v3*a2*b1 *b3
2
2 2 1 2 2 1 2 2 2 3
+ u2 *u3 *( - ---*a2 *b1 - ---*a3 *b1 ) - u2 *u3*v1*a3*b1
2 2
2 2 2 2 2 1 2 2 4
+ u2 *u3*v2*a2*b1 *b3 + u2 *u3*v3*(a2*b1 *b2 - a3*b1 *b3) - ---*u2 *v1 *b1
2
2 3 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2
- u2 *v1*v3*b1 *b3 + ---*u2 *v2 *b1 *b2 - ---*u2 *v3 *b1 *b3
2 2
3 2 2 3 2 2 2
- u2*u3 *a2*a3*b1 - u2*u3 *v1*a2*b1 + u2*u3 *v2*( - a2*b1 *b2 + a3*b1 *b3)
2 2 3 3
+ u2*u3 *v3*a3*b1 *b2 + u2*u3*v1*v2*b1 *b3 + u2*u3*v1*v3*b1 *b2
2 2 2 2 2 2
+ u2*u3*v2 *b1 *b2*b3 + u2*u3*v2*v3*(b1 *b2 + b1 *b3 )
2 2 1 4 2 2 3 3 3 2
+ u2*u3*v3 *b1 *b2*b3 - ---*u3 *a3 *b1 - u3 *v1*a3*b1 - u3 *v2*a3*b1 *b2
2
1 2 2 4 2 3 1 2 2 2 2
- ---*u3 *v1 *b1 - u3 *v1*v2*b1 *b2 - ---*u3 *v2 *b1 *b2
2 2
1 2 2 2 2
+ ---*u3 *v3 *b1 *b3
2
{HAM,FI} = 0
And again in machine readable form:
HAM=(u1**2*(1/2*a2**2*b1**2 + a2**2*b2**2 + 2*a2*a3*b2*b3 + 1/2*a3**2*b1**2 + a3
**2*b3**2 - 1/2*b1**4*kap) + u1*u2*( - a2**2*b1*b2 - a2*a3*b1*b3 - b1**3*b2*kap)
+ u1*u3*( - a2*a3*b1*b2 - a3**2*b1*b3 - b1**3*b3*kap) + u1*v2*( - a2*b1**3 - a2
*b1*b2**2 - a3*b1*b2*b3) + u1*v3*( - a2*b1*b2*b3 - a3*b1**3 - a3*b1*b3**2) + u2
**2*(a2**2*b1**2 + 1/2*a2**2*b2**2 + a2*a3*b2*b3 + 1/2*a3**2*b1**2 + 1/2*a3**2*
b3**2 - 1/2*b1**2*b2**2*kap) + u2*u3*(a2*a3*b1**2 - b1**2*b2*b3*kap) + u2*v1*(a2
*b1**3 + a2*b1*b2**2 + a3*b1*b2*b3) + u2*v3*(a2*b1**2*b3 - a3*b1**2*b2) + u3**2*
(1/2*a2**2*b1**2 + 1/2*a2**2*b2**2 + a2*a3*b2*b3 + a3**2*b1**2 + 1/2*a3**2*b3**2
- 1/2*b1**2*b3**2*kap) + u3*v1*(a2*b1*b2*b3 + a3*b1**3 + a3*b1*b3**2) + u3*v2*(
- a2*b1**2*b3 + a3*b1**2*b2))/b1**2$
FI=u1**4*( - 1/2*a2**2*b2**2 - a2*a3*b2*b3 - 1/2*a3**2*b3**2) + u1**3*u2*(a2**2*
b1*b2 + a2*a3*b1*b3) + u1**3*u3*(a2*a3*b1*b2 + a3**2*b1*b3) + u1**3*v2*(a2*b1*b2
**2 + a3*b1*b2*b3) + u1**3*v3*(a2*b1*b2*b3 + a3*b1*b3**2) + u1**2*u2**2*( - 1/2*
a2**2*b1**2 - 1/2*a2**2*b2**2 - a2*a3*b2*b3 - 1/2*a3**2*b3**2) - u1**2*u2*u3*a2*
a3*b1**2 + u1**2*u2*v1*( - a2*b1*b2**2 - a3*b1*b2*b3) + u1**2*u2*v2*( - 2*a2*b1
**2*b2 - a3*b1**2*b3) - u1**2*u2*v3*a2*b1**2*b3 + u1**2*u3**2*( - 1/2*a2**2*b2**
2 - a2*a3*b2*b3 - 1/2*a3**2*b1**2 - 1/2*a3**2*b3**2) + u1**2*u3*v1*( - a2*b1*b2*
b3 - a3*b1*b3**2) - u1**2*u3*v2*a3*b1**2*b2 + u1**2*u3*v3*( - a2*b1**2*b2 - 2*a3
*b1**2*b3) + 1/2*u1**2*v1**2*b1**4 - 1/2*u1**2*v2**2*b1**2*b2**2 - u1**2*v2*v3*
b1**2*b2*b3 - 1/2*u1**2*v3**2*b1**2*b3**2 + u1*u2**3*(a2**2*b1*b2 + a2*a3*b1*b3)
+ u1*u2**2*u3*(a2*a3*b1*b2 + a3**2*b1*b3) + u1*u2**2*v1*(2*a2*b1**2*b2 + a3*b1
**2*b3) + u1*u2**2*v2*a2*b1**3 + u1*u2**2*v3*(a2*b1*b2*b3 + a3*b1*b3**2) + u1*u2
*u3**2*(a2**2*b1*b2 + a2*a3*b1*b3) + u1*u2*u3*v1*(a2*b1**2*b3 + a3*b1**2*b2) +
u1*u2*u3*v2*( - a2*b1*b2*b3 + a3*b1**3 - a3*b1*b3**2) + u1*u2*u3*v3*(a2*b1**3 -
a2*b1*b2**2 - a3*b1*b2*b3) + u1*u2*v1**2*b1**3*b2 + u1*u2*v1*v2*(b1**4 + b1**2*
b2**2) + u1*u2*v1*v3*b1**2*b2*b3 + u1*u2*v2**2*b1**3*b2 + u1*u2*v2*v3*b1**3*b3 +
u1*u3**3*(a2*a3*b1*b2 + a3**2*b1*b3) + u1*u3**2*v1*(a2*b1**2*b2 + 2*a3*b1**2*b3
) + u1*u3**2*v2*(a2*b1*b2**2 + a3*b1*b2*b3) + u1*u3**2*v3*a3*b1**3 + u1*u3*v1**2
*b1**3*b3 + u1*u3*v1*v2*b1**2*b2*b3 + u1*u3*v1*v3*(b1**4 + b1**2*b3**2) + u1*u3*
v2*v3*b1**3*b2 + u1*u3*v3**2*b1**3*b3 - 1/2*u2**4*a2**2*b1**2 - u2**3*u3*a2*a3*
b1**2 - u2**3*v1*a2*b1**3 - u2**3*v3*a2*b1**2*b3 + u2**2*u3**2*( - 1/2*a2**2*b1
**2 - 1/2*a3**2*b1**2) - u2**2*u3*v1*a3*b1**3 + u2**2*u3*v2*a2*b1**2*b3 + u2**2*
u3*v3*(a2*b1**2*b2 - a3*b1**2*b3) - 1/2*u2**2*v1**2*b1**4 - u2**2*v1*v3*b1**3*b3
+ 1/2*u2**2*v2**2*b1**2*b2**2 - 1/2*u2**2*v3**2*b1**2*b3**2 - u2*u3**3*a2*a3*b1
**2 - u2*u3**2*v1*a2*b1**3 + u2*u3**2*v2*( - a2*b1**2*b2 + a3*b1**2*b3) + u2*u3
**2*v3*a3*b1**2*b2 + u2*u3*v1*v2*b1**3*b3 + u2*u3*v1*v3*b1**3*b2 + u2*u3*v2**2*
b1**2*b2*b3 + u2*u3*v2*v3*(b1**2*b2**2 + b1**2*b3**2) + u2*u3*v3**2*b1**2*b2*b3
- 1/2*u3**4*a3**2*b1**2 - u3**3*v1*a3*b1**3 - u3**3*v2*a3*b1**2*b2 - 1/2*u3**2*
v1**2*b1**4 - u3**2*v1*v2*b1**3*b2 - 1/2*u3**2*v2**2*b1**2*b2**2 + 1/2*u3**2*v3
**2*b1**2*b3**2$