Solution 3 to problem e3c2new
Expressions |
Parameters |
Inequalities |
Relevance |
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Expressions
The solution is given through the following expressions:
b22=0
b31=0
b32=0
b33=0
c12=0
c13=0
c22=0
c23=0
c33=0
n1=0
m1=0
m2=0
m3=0
r6=0
r5=0
r4=0
2 2 3 3
a22 *n3*q1 - 2*a22*a33*n3*q1 + a33 *n3*q1 + k1*n3 - k10*n3
r3=--------------------------------------------------------------
3 2 2 3
a22 - 3*a22 *a33 + 3*a22*a33 - a33
2 2 2 2
a22 *n2*q1 - 2*a22*a33*n2*q1 + a33 *n2*q1 + k1*n2*n3 - k10*n2*n3
r2=--------------------------------------------------------------------
3 2 2 3
a22 - 3*a22 *a33 + 3*a22*a33 - a33
r1=0
q20=0
q19=0
q17=0
q16=0
q15=0
q14=0
q13=0
q12=0
q11=0
q10=0
q9=0
q8=0
q7=0
2*k1*n2*n3 - 2*k10*n2*n3
q5=--------------------------
2 2
a22 - 2*a22*a33 + a33
q4=0
2 2 2 2
a22 *q1 - 2*a22*a33*q1 + a33 *q1 + k1*n2 - k10*n2
q3=-----------------------------------------------------
2 2
a22 - 2*a22*a33 + a33
q2=0
p56=0
p55=0
p54=0
k26*n3
p53=-----------
a22 - a33
k26*n2
p52=-----------
a22 - a33
p51=0
p50=0
p49=0
p48=0
p47=0
p46=0
p45=0
p44=0
p43=0
p42=0
- k23*n3
p41=-----------
a22 - a33
- k23*n2
p40=-----------
a22 - a33
p39=0
p38=0
p37=0
p36=0
p35=0
p34=0
k26*n3
p33=-----------
a22 - a33
k26*n2
p32=-----------
a22 - a33
p31=0
p30=0
p29=0
p28=0
p27=0
p26=0
- k23*n3
p25=-----------
a22 - a33
p24=0
- k23*n2
p23=-----------
a22 - a33
p22=0
p21=0
p20=0
k26*n3
p19=-----------
a22 - a33
k26*n2
p18=-----------
a22 - a33
p17=0
p16=0
p15=0
- k23*n3
p14=-----------
a22 - a33
p13=0
- k23*n2
p12=-----------
a22 - a33
p11=0
k10*n2
p9=-----------
a22 - a33
p8=0
2*k1*n3 - k10*n3
p7=------------------
a22 - a33
p6=0
2*k1*n3 - k10*n3
p5=------------------
a22 - a33
2*k1*n2 - k10*n2
p4=------------------
a22 - a33
p3=0
2*k1*n2 - k10*n2
p2=------------------
a22 - a33
p1=0
k125=0
k124=0
k122=0
k121=0
k120=0
k119=0
k118=0
k117=0
k116=0
k115=0
k114=0
k113=0
k112=0
k110=0
k109=0
k108=k26
k107=0
k106=k26
k105=0
k104=0
k103=0
k102=0
k101=0
k100=0
k99=0
k98=0
k97=0
k96=0
k95=0
k94=0
k93=0
k92=0
k91=0
k90=0
k89=0
k88=0
k87=0
k86=0
k85=0
k84=0
k83=0
k82=0
k81=0
k80=k23
k79=0
k78=0
k77=0
k76=0
k75=0
k74=0
k73=0
k72=0
k71=0
k70=0
k69=0
k68=0
k67=0
k66=0
k65=0
k64=0
k63=0
k62=0
k61=0
k60=0
k59=0
k58=k26
k57=0
k56=k26
k55=0
k54=0
k53=0
k52=0
k51=0
k50=0
k49=0
k48=0
k47=0
k46=0
k45=0
k44=k23
k43=0
k42=0
k41=0
k40=0
k38=0
k37=0
k36=0
k35=0
k34=0
k33=0
k32=0
k30=0
k29=0
k28=k26
k27=0
k25=0
k24=0
k22=0
k21=0
k20=0
k19=0
k18=0
k17=0
k16=0
k14=0
k13=0
k12=k10
k11=0
k9=0
k8=0
k7=0
k6=0
k5=k1
k4=0
k3=2*k1
k2=0
Parameters
Apart from the condition that they must not vanish to give
a non-trivial solution and a non-singular solution with
non-vanishing denominators, the following parameters are free:
n3, q1, p10, k26, k23, k10, k1, n2, a33, a22
Inequalities
In the following not identically vanishing expressions are shown.
Any auxiliary variables g00?? are used to express that at least
one of their coefficients must not vanish, e.g. g0019*p4 + g0020*p3
means that either p4 or p3 or both are non-vanishing.
{n3,
a22,
a22 - a33,
a33,
n2,
k1*w123 + 2*k1*w125 + k1*w127 + k10*w116 + k10*w118 + k23*w048 + k23*w084
+ k23*w105 + k26*w020 + k26*w022 + k26*w070 + k26*w072 + k26*w100 + k26*w102}
Relevance for the application:
The system of equations related to the Hamiltonian HAM:
2 2 2
HAM=a22*u1 + a22*u2 + a33*u3 + n2*u2 + n3*u3
has apart from the Hamiltonian and Casimirs the following first integrals:
3 4 3 2 2 3 4 2 4 2 2 2
INT=a22 *u1 + 2*a22 *u1 *u2 + a22 *u2 - 3*a22 *a33*u1 - 6*a22 *a33*u1 *u2
2 4 2 2 2 3 2 2
- 3*a22 *a33*u2 + 2*a22 *n2*u1 *u2 + 2*a22 *n2*u2 + 2*a22 *n3*u1 *u3
2 2 2 4 2 2 2 2 4
+ 2*a22 *n3*u2 *u3 + 3*a22*a33 *u1 + 6*a22*a33 *u1 *u2 + 3*a22*a33 *u2
2 3 2
- 4*a22*a33*n2*u1 *u2 - 4*a22*a33*n2*u2 - 4*a22*a33*n3*u1 *u3
2 2 2 3 4
- 4*a22*a33*n3*u2 *u3 + a22*n2 *u2 + 2*a22*n2*n3*u2*u3 - a33 *u1
3 2 2 3 4 2 2 2 3
- 2*a33 *u1 *u2 - a33 *u2 + 2*a33 *n2*u1 *u2 + 2*a33 *n2*u2
2 2 2 2 2 2
+ 2*a33 *n3*u1 *u3 + 2*a33 *n3*u2 *u3 - a33*n2 *u2 - 2*a33*n2*n3*u2*u3
2 3
+ n2*n3 *u2 + n3 *u3
2 2 2 2 2 2
=(a22 + a22*a33 + a33 )*(a22 - a33)*(u1 + u2 ) + (n2*u2 + n3*u3)*n3
2 2 2
+ 2*(n2*u2 + n3*u3)*(u1 + u2 )*a33 - (n2*u2 + 2*n3*u3)*a33*n2*u2
2 2 2 2 2
+ (2*(n2*u2 + n3*u3) - 3*(u1 + u2 )*a33)*(u1 + u2 )*a22 + (
2 2 2 2
(n2*u2 + 2*n3*u3)*n2*u2 + 3*(u1 + u2 ) *a33
2 2
- 4*(n2*u2 + n3*u3)*(u1 + u2 )*a33)*a22
3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2
INT=a22 *u1 *u3 + a22 *u2 *u3 - 3*a22 *a33*u1 *u3 - 3*a22 *a33*u2 *u3
2 2 2 3 2 2 2 2
- a22 *n2*u1 *u2 - a22 *n2*u2 + a22 *n2*u2*u3 - a22 *n3*u1 *u3
2 2 2 2 2 2 2 2
- a22 *n3*u2 *u3 + 3*a22*a33 *u1 *u3 + 3*a22*a33 *u2 *u3
2 3 2
+ 2*a22*a33*n2*u1 *u2 + 2*a22*a33*n2*u2 - 2*a22*a33*n2*u2*u3
2 2 2 2
+ 2*a22*a33*n3*u1 *u3 + 2*a22*a33*n3*u2 *u3 - a22*n2 *u2
3 2 2 3 2 2 2 2
- 2*a22*n2*n3*u2*u3 - a33 *u1 *u3 - a33 *u2 *u3 - a33 *n2*u1 *u2
2 3 2 2 2 2 2 2
- a33 *n2*u2 + a33 *n2*u2*u3 - a33 *n3*u1 *u3 - a33 *n3*u2 *u3
2 2 2 3
+ a33*n2 *u2 + 2*a33*n2*n3*u2*u3 - n2*n3 *u2 - n3 *u3
2 2 2 2 2 2
=(a22 + a22*a33 + a33 )*(a22 - a33)*(u1 + u2 )*u3 - (n2*u2 + n3*u3)*n3
+ (n2*u2 + 2*n3*u3)*a33*n2*u2
2 2 2 2
- (((u2 + u3)*(u2 - u3) + u1 )*n2*u2 + (u1 + u2 )*n3*u3)*a33
2 2 2 2
- (((u2 + u3)*(u2 - u3) + u1 )*n2*u2 + (3*a33*u3 + n3)*(u1 + u2 )*u3)*a22
2 2 2
+ (2*(((u2 + u3)*(u2 - u3) + u1 )*n2*u2 + (u1 + u2 )*n3*u3)*a33
2 2 2 2
- ((n2*u2 + 2*n3*u3)*n2*u2 - 3*(u1 + u2 )*a33 *u3 ))*a22
3 2 3 2 3 3 2 2
INT=a22 *u1*u3 *v1 + a22 *u2*u3 *v2 + a22 *u3 *v3 - 3*a22 *a33*u1*u3 *v1
2 2 2 3 2
- 3*a22 *a33*u2*u3 *v2 - 3*a22 *a33*u3 *v3 - a22 *n2*u1*u2*v1
2 2 2 2 2
- a22 *n2*u2 *v2 - a22 *n2*u2*u3*v3 - a22 *n3*u1*u3*v1 - a22 *n3*u2*u3*v2
2 2 2 2 2 2
- a22 *n3*u3 *v3 + 3*a22*a33 *u1*u3 *v1 + 3*a22*a33 *u2*u3 *v2
2 3 2
+ 3*a22*a33 *u3 *v3 + 2*a22*a33*n2*u1*u2*v1 + 2*a22*a33*n2*u2 *v2
+ 2*a22*a33*n2*u2*u3*v3 + 2*a22*a33*n3*u1*u3*v1 + 2*a22*a33*n3*u2*u3*v2
2 3 2 3 2 3 3
+ 2*a22*a33*n3*u3 *v3 - a33 *u1*u3 *v1 - a33 *u2*u3 *v2 - a33 *u3 *v3
2 2 2 2 2
- a33 *n2*u1*u2*v1 - a33 *n2*u2 *v2 - a33 *n2*u2*u3*v3 - a33 *n3*u1*u3*v1
2 2 2
- a33 *n3*u2*u3*v2 - a33 *n3*u3 *v3
2 2 2
=(u2*v2 + u3*v3 + u1*v1)*(a22*u3 - a33*u3 - n2*u2 - n3*u3)*(a22 - a33)
3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2
INT=a22 *u1 *v1 + a22 *u1 *v2 + a22 *u1 *v3 + a22 *u2 *v1 + a22 *u2 *v2
3 2 2 2 2 2 2 2 2
+ a22 *u2 *v3 - 3*a22 *a33*u1 *v1 - 3*a22 *a33*u1 *v2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
- 3*a22 *a33*u1 *v3 - 3*a22 *a33*u2 *v1 - 3*a22 *a33*u2 *v2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
- 3*a22 *a33*u2 *v3 + a22 *n2*u2*v1 + a22 *n2*u2*v2 + a22 *n2*u2*v3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
+ a22 *n3*u3*v1 + a22 *n3*u3*v2 + a22 *n3*u3*v3 + 3*a22*a33 *u1 *v1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
+ 3*a22*a33 *u1 *v2 + 3*a22*a33 *u1 *v3 + 3*a22*a33 *u2 *v1
2 2 2 2 2 2 2
+ 3*a22*a33 *u2 *v2 + 3*a22*a33 *u2 *v3 - 2*a22*a33*n2*u2*v1
2 2 2
- 2*a22*a33*n2*u2*v2 - 2*a22*a33*n2*u2*v3 - 2*a22*a33*n3*u3*v1
2 2 3 2 2 3 2 2
- 2*a22*a33*n3*u3*v2 - 2*a22*a33*n3*u3*v3 - a33 *u1 *v1 - a33 *u1 *v2
3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2
- a33 *u1 *v3 - a33 *u2 *v1 - a33 *u2 *v2 - a33 *u2 *v3
2 2 2 2 2 2 2 2
+ a33 *n2*u2*v1 + a33 *n2*u2*v2 + a33 *n2*u2*v3 + a33 *n3*u3*v1
2 2 2 2
+ a33 *n3*u3*v2 + a33 *n3*u3*v3
2 2 2 2 2 2 2
=(v2 + v3 + v1 )*(a22*u1 + a22*u2 - a33*u1 - a33*u2 + n2*u2 + n3*u3)
2
*(a22 - a33)
3
INT=u3
3
=u3
3 2 3 2 2 2 2 2 2
INT=a22 *u1 + a22 *u2 - 3*a22 *a33*u1 - 3*a22 *a33*u2 + a22 *n2*u2
2 2 2 2 2
+ a22 *n3*u3 + 3*a22*a33 *u1 + 3*a22*a33 *u2 - 2*a22*a33*n2*u2
3 2 3 2 2 2
- 2*a22*a33*n3*u3 - a33 *u1 - a33 *u2 + a33 *n2*u2 + a33 *n3*u3
2 2 2 2 2
=(a22*u1 + a22*u2 - a33*u1 - a33*u2 + n2*u2 + n3*u3)*(a22 - a33)
And again in machine readable form:
HAM=a22*u1**2 + a22*u2**2 + a33*u3**2 + n2*u2 + n3*u3$
INT=a22**3*u1**4 + 2*a22**3*u1**2*u2**2 + a22**3*u2**4 - 3*a22**2*a33*u1**4 - 6*
a22**2*a33*u1**2*u2**2 - 3*a22**2*a33*u2**4 + 2*a22**2*n2*u1**2*u2 + 2*a22**2*n2
*u2**3 + 2*a22**2*n3*u1**2*u3 + 2*a22**2*n3*u2**2*u3 + 3*a22*a33**2*u1**4 + 6*
a22*a33**2*u1**2*u2**2 + 3*a22*a33**2*u2**4 - 4*a22*a33*n2*u1**2*u2 - 4*a22*a33*
n2*u2**3 - 4*a22*a33*n3*u1**2*u3 - 4*a22*a33*n3*u2**2*u3 + a22*n2**2*u2**2 + 2*
a22*n2*n3*u2*u3 - a33**3*u1**4 - 2*a33**3*u1**2*u2**2 - a33**3*u2**4 + 2*a33**2*
n2*u1**2*u2 + 2*a33**2*n2*u2**3 + 2*a33**2*n3*u1**2*u3 + 2*a33**2*n3*u2**2*u3 -
a33*n2**2*u2**2 - 2*a33*n2*n3*u2*u3 + n2*n3**2*u2 + n3**3*u3$
INT=a22**3*u1**2*u3**2 + a22**3*u2**2*u3**2 - 3*a22**2*a33*u1**2*u3**2 - 3*a22**
2*a33*u2**2*u3**2 - a22**2*n2*u1**2*u2 - a22**2*n2*u2**3 + a22**2*n2*u2*u3**2 -
a22**2*n3*u1**2*u3 - a22**2*n3*u2**2*u3 + 3*a22*a33**2*u1**2*u3**2 + 3*a22*a33**
2*u2**2*u3**2 + 2*a22*a33*n2*u1**2*u2 + 2*a22*a33*n2*u2**3 - 2*a22*a33*n2*u2*u3
**2 + 2*a22*a33*n3*u1**2*u3 + 2*a22*a33*n3*u2**2*u3 - a22*n2**2*u2**2 - 2*a22*n2
*n3*u2*u3 - a33**3*u1**2*u3**2 - a33**3*u2**2*u3**2 - a33**2*n2*u1**2*u2 - a33**
2*n2*u2**3 + a33**2*n2*u2*u3**2 - a33**2*n3*u1**2*u3 - a33**2*n3*u2**2*u3 + a33*
n2**2*u2**2 + 2*a33*n2*n3*u2*u3 - n2*n3**2*u2 - n3**3*u3$
INT=a22**3*u1*u3**2*v1 + a22**3*u2*u3**2*v2 + a22**3*u3**3*v3 - 3*a22**2*a33*u1*
u3**2*v1 - 3*a22**2*a33*u2*u3**2*v2 - 3*a22**2*a33*u3**3*v3 - a22**2*n2*u1*u2*v1
- a22**2*n2*u2**2*v2 - a22**2*n2*u2*u3*v3 - a22**2*n3*u1*u3*v1 - a22**2*n3*u2*
u3*v2 - a22**2*n3*u3**2*v3 + 3*a22*a33**2*u1*u3**2*v1 + 3*a22*a33**2*u2*u3**2*v2
+ 3*a22*a33**2*u3**3*v3 + 2*a22*a33*n2*u1*u2*v1 + 2*a22*a33*n2*u2**2*v2 + 2*a22
*a33*n2*u2*u3*v3 + 2*a22*a33*n3*u1*u3*v1 + 2*a22*a33*n3*u2*u3*v2 + 2*a22*a33*n3*
u3**2*v3 - a33**3*u1*u3**2*v1 - a33**3*u2*u3**2*v2 - a33**3*u3**3*v3 - a33**2*n2
*u1*u2*v1 - a33**2*n2*u2**2*v2 - a33**2*n2*u2*u3*v3 - a33**2*n3*u1*u3*v1 - a33**
2*n3*u2*u3*v2 - a33**2*n3*u3**2*v3$
INT=a22**3*u1**2*v1**2 + a22**3*u1**2*v2**2 + a22**3*u1**2*v3**2 + a22**3*u2**2*
v1**2 + a22**3*u2**2*v2**2 + a22**3*u2**2*v3**2 - 3*a22**2*a33*u1**2*v1**2 - 3*
a22**2*a33*u1**2*v2**2 - 3*a22**2*a33*u1**2*v3**2 - 3*a22**2*a33*u2**2*v1**2 - 3
*a22**2*a33*u2**2*v2**2 - 3*a22**2*a33*u2**2*v3**2 + a22**2*n2*u2*v1**2 + a22**2
*n2*u2*v2**2 + a22**2*n2*u2*v3**2 + a22**2*n3*u3*v1**2 + a22**2*n3*u3*v2**2 +
a22**2*n3*u3*v3**2 + 3*a22*a33**2*u1**2*v1**2 + 3*a22*a33**2*u1**2*v2**2 + 3*a22
*a33**2*u1**2*v3**2 + 3*a22*a33**2*u2**2*v1**2 + 3*a22*a33**2*u2**2*v2**2 + 3*
a22*a33**2*u2**2*v3**2 - 2*a22*a33*n2*u2*v1**2 - 2*a22*a33*n2*u2*v2**2 - 2*a22*
a33*n2*u2*v3**2 - 2*a22*a33*n3*u3*v1**2 - 2*a22*a33*n3*u3*v2**2 - 2*a22*a33*n3*
u3*v3**2 - a33**3*u1**2*v1**2 - a33**3*u1**2*v2**2 - a33**3*u1**2*v3**2 - a33**3
*u2**2*v1**2 - a33**3*u2**2*v2**2 - a33**3*u2**2*v3**2 + a33**2*n2*u2*v1**2 +
a33**2*n2*u2*v2**2 + a33**2*n2*u2*v3**2 + a33**2*n3*u3*v1**2 + a33**2*n3*u3*v2**
2 + a33**2*n3*u3*v3**2$
INT=u3**3$
INT=a22**3*u1**2 + a22**3*u2**2 - 3*a22**2*a33*u1**2 - 3*a22**2*a33*u2**2 + a22
**2*n2*u2 + a22**2*n3*u3 + 3*a22*a33**2*u1**2 + 3*a22*a33**2*u2**2 - 2*a22*a33*
n2*u2 - 2*a22*a33*n3*u3 - a33**3*u1**2 - a33**3*u2**2 + a33**2*n2*u2 + a33**2*n3
*u3$