Solution 21 to problem e3null
Expressions |
Parameters |
Relevance |
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Expressions
The solution is given through the following expressions:
b22=0
b31=0
b32=0
c12=0
c13=0
c22=0
c23=0
1 2
- ---*b33
4
c33=-------------
a22
n1=0
n3=0
m1=0
1 1
- ---*a22*b33*n2 - ---*a33*b33*n2
2 2
m2=------------------------------------
2
a22 - a22*a33
m3=0
r6=0
1
- ---*b33*n2*q1
2
r5=------------------
2
a22 - a22*a33
r4=0
r3=0
n2*q1
r2=-----------
a22 - a33
r1=0
q19=0
q18=0
b33*q1
q17=--------
a22
q16=0
q15=0
1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2
q14=(---*a22 *b33 *q1 - ---*a22*a33*b33 *q1 + ---*a33 *b33 *q1 + ---*b33 *k1*n2
4 2 4 4
1 2 2 4 3 2 2
+ ---*b33 *k10*n2 )/(a22 - 2*a22 *a33 + a22 *a33 )
4
q13=0
q12=0
2
- b33*k1*n2
q11=------------------------------
3 2 2
a22 - 2*a22 *a33 + a22*a33
q10=0
1 2
---*b33 *q1
4
q9=-------------
2
a22
q8=0
q7=0
q5=0
q4=0
2 2 2 2
a22 *q1 - 2*a22*a33*q1 + a33 *q1 + k1*n2 - k10*n2
q3=-----------------------------------------------------
2 2
a22 - 2*a22*a33 + a33
q2=0
p50=0
1 3 1 3
---*b33 *k1*n2 + ---*b33 *k10*n2
4 8
p49=----------------------------------
4 3
a22 - a22 *a33
p48=0
p47=0
1 2 1 2
- ---*b33 *k1*n2 + ---*b33 *k10*n2
2 4
p46=-------------------------------------
3 2
a22 - a22 *a33
p45=0
p44=0
p43=0
2 1 2
- b33 *k1*n2 - ---*b33 *k10*n2
2
p42=---------------------------------
3 2
a22 - a22 *a33
p41=0
p40=0
p39=0
p38=0
p37=0
p36=0
2*b33*k1*n2 - b33*k10*n2
p35=--------------------------
2
a22 - a22*a33
p34=0
p33=0
p32=0
p31=0
p30=0
p29=0
p28=0
p27=0
p26=0
p25=0
p24=0
p23=0
1
- ---*b33*k10*n2
2
p22=-------------------
2
a22 - a22*a33
p21=0
p20=0
1
- b33*k1*n2 - ---*b33*k10*n2
2
p19=-------------------------------
2
a22 - a22*a33
p18=0
1
- b33*k1*n2 - ---*b33*k10*n2
2
p17=-------------------------------
2
a22 - a22*a33
p16=0
p15=0
p14=0
p13=0
p12=0
p11=0
p10=0
k10*n2
p9=-----------
a22 - a33
p8=0
p7=0
p6=0
p5=0
2*k1*n2 - k10*n2
p4=------------------
a22 - a33
p3=0
2*k1*n2 - k10*n2
p2=------------------
a22 - a33
p1=0
k104=0
k103=0
1 3
- ---*b33 *k1
2
k102=----------------
3
a22
k101=0
k100=0
1 4
- ---*b33 *k1
8
k99=----------------
4
a22
k98=0
k97=0
k96=0
k95=0
1 4
- ---*b33 *k1
8
k94=----------------
4
a22
k93=0
k92=0
2 1 2
b33 *k1 - ---*b33 *k10
4
k91=------------------------
2
a22
k90=0
k89=0
1 2
- ---*b33 *k1
2
k88=----------------
2
a22
k87=0
1 2
- ---*b33 *k1
2
k86=----------------
2
a22
k85=0
k84=0
k83=0
k82=0
k81=0
k80=0
k79=0
k78=0
k77=0
k76=0
k75=0
k74=0
k73=0
k72=0
k71=0
k70=0
k69=0
k68=0
k67=0
k66=0
b33*k10
k65=---------
a22
k64=0
k63=0
2*b33*k1
k62=----------
a22
k61=0
2*b33*k1
k60=----------
a22
k59=0
k58=0
k57=0
k56=0
1 4
- ----*b33 *k1
16
k55=-----------------
4
a22
k54=0
k53=0
k52=0
k51=0
1 4
- ---*b33 *k1
8
k50=----------------
4
a22
k49=0
k48=0
k47=0
k46=0
k45=0
k44=0
k43=0
k42=0
k41=0
k40=0
k39=0
k38=0
k37=0
k36=0
k35=0
k34=0
k33=0
k32=0
k31=0
k30=0
k29=0
k28=0
k27=0
k26=0
1 4
- ----*b33 *k1
16
k25=-----------------
4
a22
k24=0
k23=0
k21=0
k20=0
k19=0
k18=0
k17=0
k16=0
k14=0
k13=0
k12=k10
k11=0
k9=0
k8=0
k7=0
k6=0
k5=k1
k4=0
k3=2*k1
k2=0
Parameters
Apart from the condition that they must not vanish to give
a non-trivial solution and a non-singular solution with
non-vanishing denominators, the following parameters are free:
k10,k1,q1,b33,n2,a33,a22
Relevance for the application:
The following expression INT is a first
integral for the Hamiltonian HAM:
3 2 3 2 2 2 2 2 2 2
HAM=(4*a22 *u1 + 4*a22 *u2 - 4*a22 *a33*u1 - 4*a22 *a33*u2 + 4*a22 *a33*u3
2 2 2 2
+ 4*a22 *b33*u3*v3 + 4*a22 *n2*u2 - 4*a22*a33 *u3 - 4*a22*a33*b33*u3*v3
2 2 2 2
- 4*a22*a33*n2*u2 - a22*b33 *v3 - 2*a22*b33*n2*v2 + a33*b33 *v3
- 2*a33*b33*n2*v2)/(4*a22*(a22 - a33))
6 4 6 2 2 6 4 6 2 2
INT=(16*a22 *k1*u1 + 32*a22 *k1*u1 *u2 + 16*a22 *k1*u2 + 16*a22 *k10*u1 *u3
6 2 2 6 2 6 2
+ 16*a22 *k10*u2 *u3 + 16*a22 *q1*u1 + 16*a22 *q1*u2
5 4 5 2 2 5 4
- 32*a22 *a33*k1*u1 - 64*a22 *a33*k1*u1 *u2 - 32*a22 *a33*k1*u2
5 2 2 5 2 2 5 2
- 32*a22 *a33*k10*u1 *u3 - 32*a22 *a33*k10*u2 *u3 - 32*a22 *a33*q1*u1
5 2 5 2 5 2
- 32*a22 *a33*q1*u2 + 32*a22 *b33*k1*u1 *u3*v3 + 32*a22 *b33*k1*u2 *u3*v3
5 3 5 5 2
+ 16*a22 *b33*k10*u3 *v3 + 16*a22 *b33*q1*u3*v3 + 32*a22 *k1*n2*u1 *u2
5 3 5 2 5 3
+ 32*a22 *k1*n2*u2 - 16*a22 *k10*n2*u1 *u2 - 16*a22 *k10*n2*u2
5 2 5 4 2 4
+ 16*a22 *k10*n2*u2*u3 + 16*a22 *n2*q1*u2 + 16*a22 *a33 *k1*u1
4 2 2 2 4 2 4 4 2 2 2
+ 32*a22 *a33 *k1*u1 *u2 + 16*a22 *a33 *k1*u2 + 16*a22 *a33 *k10*u1 *u3
4 2 2 2 4 2 2 4 2 2
+ 16*a22 *a33 *k10*u2 *u3 + 16*a22 *a33 *q1*u1 + 16*a22 *a33 *q1*u2
4 2 4 2
- 64*a22 *a33*b33*k1*u1 *u3*v3 - 64*a22 *a33*b33*k1*u2 *u3*v3
4 3 4
- 32*a22 *a33*b33*k10*u3 *v3 - 32*a22 *a33*b33*q1*u3*v3
4 2 4 3
- 32*a22 *a33*k1*n2*u1 *u2 - 32*a22 *a33*k1*n2*u2
4 2 4 3
+ 16*a22 *a33*k10*n2*u1 *u2 + 16*a22 *a33*k10*n2*u2
4 2 4
- 16*a22 *a33*k10*n2*u2*u3 - 16*a22 *a33*n2*q1*u2
4 2 2 2 4 2 2 2
- 8*a22 *b33 *k1*u1 *v3 - 8*a22 *b33 *k1*u2 *v3
4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2
+ 16*a22 *b33 *k1*u3 *v3 - 4*a22 *b33 *k10*u3 *v3 + 4*a22 *b33 *q1*v1
4 2 2 4 2 4 2
+ 4*a22 *b33 *q1*v2 - 16*a22 *b33*k1*n2*u1 *v2 - 16*a22 *b33*k1*n2*u2 *v2
4 4 2
+ 32*a22 *b33*k1*n2*u2*u3*v3 - 8*a22 *b33*k10*n2*u1 *v2
4 2 4
- 8*a22 *b33*k10*n2*u2 *v2 - 16*a22 *b33*k10*n2*u2*u3*v3
4 2 4 4 2 2
- 8*a22 *b33*k10*n2*u3 *v2 - 8*a22 *b33*n2*q1*v2 + 16*a22 *k1*n2 *u2
4 2 2 3 2 2
- 16*a22 *k10*n2 *u2 + 32*a22 *a33 *b33*k1*u1 *u3*v3
3 2 2 3 2 3
+ 32*a22 *a33 *b33*k1*u2 *u3*v3 + 16*a22 *a33 *b33*k10*u3 *v3
3 2 3 2 2 2
+ 16*a22 *a33 *b33*q1*u3*v3 + 16*a22 *a33*b33 *k1*u1 *v3
3 2 2 2 3 2 2 2
+ 16*a22 *a33*b33 *k1*u2 *v3 - 32*a22 *a33*b33 *k1*u3 *v3
3 2 2 2 3 2 2
+ 8*a22 *a33*b33 *k10*u3 *v3 - 8*a22 *a33*b33 *q1*v1
3 2 2 3 2
- 8*a22 *a33*b33 *q1*v2 + 16*a22 *a33*b33*k1*n2*u1 *v2
3 2 3
+ 16*a22 *a33*b33*k1*n2*u2 *v2 - 32*a22 *a33*b33*k1*n2*u2*u3*v3
3 2 3 2
+ 8*a22 *a33*b33*k10*n2*u1 *v2 + 8*a22 *a33*b33*k10*n2*u2 *v2
3 3 2
+ 16*a22 *a33*b33*k10*n2*u2*u3*v3 + 8*a22 *a33*b33*k10*n2*u3 *v2
3 3 3 3
+ 8*a22 *a33*b33*n2*q1*v2 - 8*a22 *b33 *k1*u3*v3
3 2 2 3 2
- 8*a22 *b33 *k1*n2*u2*v3 - 16*a22 *b33 *k1*n2*u3*v2*v3
3 2 2 3 2
+ 4*a22 *b33 *k10*n2*u2*v3 - 8*a22 *b33 *k10*n2*u3*v2*v3
3 2 2 2 2 2 2
- 16*a22 *b33*k1*n2 *u2*v2 - 8*a22 *a33 *b33 *k1*u1 *v3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
- 8*a22 *a33 *b33 *k1*u2 *v3 + 16*a22 *a33 *b33 *k1*u3 *v3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
- 4*a22 *a33 *b33 *k10*u3 *v3 + 4*a22 *a33 *b33 *q1*v1
2 2 2 2 2 3 3
+ 4*a22 *a33 *b33 *q1*v2 + 16*a22 *a33*b33 *k1*u3*v3
2 2 2 2 2
+ 8*a22 *a33*b33 *k1*n2*u2*v3 + 16*a22 *a33*b33 *k1*n2*u3*v2*v3
2 2 2 2 2
- 4*a22 *a33*b33 *k10*n2*u2*v3 + 8*a22 *a33*b33 *k10*n2*u3*v2*v3
2 4 4 2 4 2 2 2 4 2 2
- a22 *b33 *k1*v1 - 2*a22 *b33 *k1*v1 *v2 - 2*a22 *b33 *k1*v1 *v3
2 4 4 2 4 2 2 2 3 2
- a22 *b33 *k1*v2 - 2*a22 *b33 *k1*v2 *v3 + 4*a22 *b33 *k1*n2*v2*v3
2 3 2 2 2 2 2
+ 2*a22 *b33 *k10*n2*v2*v3 + 4*a22 *b33 *k1*n2 *v2
2 2 2 2 2 3 3
+ 4*a22 *b33 *k10*n2 *v2 - 8*a22*a33 *b33 *k1*u3*v3
4 4 4 2 2
+ 2*a22*a33*b33 *k1*v1 + 4*a22*a33*b33 *k1*v1 *v2
4 2 2 4 4
+ 4*a22*a33*b33 *k1*v1 *v3 + 2*a22*a33*b33 *k1*v2
4 2 2 3 2
+ 4*a22*a33*b33 *k1*v2 *v3 - 4*a22*a33*b33 *k1*n2*v2*v3
3 2 2 4 4 2 4 2 2
- 2*a22*a33*b33 *k10*n2*v2*v3 - a33 *b33 *k1*v1 - 2*a33 *b33 *k1*v1 *v2
2 4 2 2 2 4 4 2 4 2 2
- 2*a33 *b33 *k1*v1 *v3 - a33 *b33 *k1*v2 - 2*a33 *b33 *k1*v2 *v3 )/(16
4 2 2
*a22 *(a22 - 2*a22*a33 + a33 ))
And again in machine readable form:
HAM=(4*a22**3*u1**2 + 4*a22**3*u2**2 - 4*a22**2*a33*u1**2 - 4*a22**2*a33*u2**2 +
4*a22**2*a33*u3**2 + 4*a22**2*b33*u3*v3 + 4*a22**2*n2*u2 - 4*a22*a33**2*u3**2 -
4*a22*a33*b33*u3*v3 - 4*a22*a33*n2*u2 - a22*b33**2*v3**2 - 2*a22*b33*n2*v2 +
a33*b33**2*v3**2 - 2*a33*b33*n2*v2)/(4*a22*(a22 - a33))$
INT=(16*a22**6*k1*u1**4 + 32*a22**6*k1*u1**2*u2**2 + 16*a22**6*k1*u2**4 + 16*a22
**6*k10*u1**2*u3**2 + 16*a22**6*k10*u2**2*u3**2 + 16*a22**6*q1*u1**2 + 16*a22**6
*q1*u2**2 - 32*a22**5*a33*k1*u1**4 - 64*a22**5*a33*k1*u1**2*u2**2 - 32*a22**5*
a33*k1*u2**4 - 32*a22**5*a33*k10*u1**2*u3**2 - 32*a22**5*a33*k10*u2**2*u3**2 -
32*a22**5*a33*q1*u1**2 - 32*a22**5*a33*q1*u2**2 + 32*a22**5*b33*k1*u1**2*u3*v3 +
32*a22**5*b33*k1*u2**2*u3*v3 + 16*a22**5*b33*k10*u3**3*v3 + 16*a22**5*b33*q1*u3
*v3 + 32*a22**5*k1*n2*u1**2*u2 + 32*a22**5*k1*n2*u2**3 - 16*a22**5*k10*n2*u1**2*
u2 - 16*a22**5*k10*n2*u2**3 + 16*a22**5*k10*n2*u2*u3**2 + 16*a22**5*n2*q1*u2 +
16*a22**4*a33**2*k1*u1**4 + 32*a22**4*a33**2*k1*u1**2*u2**2 + 16*a22**4*a33**2*
k1*u2**4 + 16*a22**4*a33**2*k10*u1**2*u3**2 + 16*a22**4*a33**2*k10*u2**2*u3**2 +
16*a22**4*a33**2*q1*u1**2 + 16*a22**4*a33**2*q1*u2**2 - 64*a22**4*a33*b33*k1*u1
**2*u3*v3 - 64*a22**4*a33*b33*k1*u2**2*u3*v3 - 32*a22**4*a33*b33*k10*u3**3*v3 -
32*a22**4*a33*b33*q1*u3*v3 - 32*a22**4*a33*k1*n2*u1**2*u2 - 32*a22**4*a33*k1*n2*
u2**3 + 16*a22**4*a33*k10*n2*u1**2*u2 + 16*a22**4*a33*k10*n2*u2**3 - 16*a22**4*
a33*k10*n2*u2*u3**2 - 16*a22**4*a33*n2*q1*u2 - 8*a22**4*b33**2*k1*u1**2*v3**2 -
8*a22**4*b33**2*k1*u2**2*v3**2 + 16*a22**4*b33**2*k1*u3**2*v3**2 - 4*a22**4*b33
**2*k10*u3**2*v3**2 + 4*a22**4*b33**2*q1*v1**2 + 4*a22**4*b33**2*q1*v2**2 - 16*
a22**4*b33*k1*n2*u1**2*v2 - 16*a22**4*b33*k1*n2*u2**2*v2 + 32*a22**4*b33*k1*n2*
u2*u3*v3 - 8*a22**4*b33*k10*n2*u1**2*v2 - 8*a22**4*b33*k10*n2*u2**2*v2 - 16*a22
**4*b33*k10*n2*u2*u3*v3 - 8*a22**4*b33*k10*n2*u3**2*v2 - 8*a22**4*b33*n2*q1*v2 +
16*a22**4*k1*n2**2*u2**2 - 16*a22**4*k10*n2**2*u2**2 + 32*a22**3*a33**2*b33*k1*
u1**2*u3*v3 + 32*a22**3*a33**2*b33*k1*u2**2*u3*v3 + 16*a22**3*a33**2*b33*k10*u3
**3*v3 + 16*a22**3*a33**2*b33*q1*u3*v3 + 16*a22**3*a33*b33**2*k1*u1**2*v3**2 +
16*a22**3*a33*b33**2*k1*u2**2*v3**2 - 32*a22**3*a33*b33**2*k1*u3**2*v3**2 + 8*
a22**3*a33*b33**2*k10*u3**2*v3**2 - 8*a22**3*a33*b33**2*q1*v1**2 - 8*a22**3*a33*
b33**2*q1*v2**2 + 16*a22**3*a33*b33*k1*n2*u1**2*v2 + 16*a22**3*a33*b33*k1*n2*u2
**2*v2 - 32*a22**3*a33*b33*k1*n2*u2*u3*v3 + 8*a22**3*a33*b33*k10*n2*u1**2*v2 + 8
*a22**3*a33*b33*k10*n2*u2**2*v2 + 16*a22**3*a33*b33*k10*n2*u2*u3*v3 + 8*a22**3*
a33*b33*k10*n2*u3**2*v2 + 8*a22**3*a33*b33*n2*q1*v2 - 8*a22**3*b33**3*k1*u3*v3**
3 - 8*a22**3*b33**2*k1*n2*u2*v3**2 - 16*a22**3*b33**2*k1*n2*u3*v2*v3 + 4*a22**3*
b33**2*k10*n2*u2*v3**2 - 8*a22**3*b33**2*k10*n2*u3*v2*v3 - 16*a22**3*b33*k1*n2**
2*u2*v2 - 8*a22**2*a33**2*b33**2*k1*u1**2*v3**2 - 8*a22**2*a33**2*b33**2*k1*u2**
2*v3**2 + 16*a22**2*a33**2*b33**2*k1*u3**2*v3**2 - 4*a22**2*a33**2*b33**2*k10*u3
**2*v3**2 + 4*a22**2*a33**2*b33**2*q1*v1**2 + 4*a22**2*a33**2*b33**2*q1*v2**2 +
16*a22**2*a33*b33**3*k1*u3*v3**3 + 8*a22**2*a33*b33**2*k1*n2*u2*v3**2 + 16*a22**
2*a33*b33**2*k1*n2*u3*v2*v3 - 4*a22**2*a33*b33**2*k10*n2*u2*v3**2 + 8*a22**2*a33
*b33**2*k10*n2*u3*v2*v3 - a22**2*b33**4*k1*v1**4 - 2*a22**2*b33**4*k1*v1**2*v2**
2 - 2*a22**2*b33**4*k1*v1**2*v3**2 - a22**2*b33**4*k1*v2**4 - 2*a22**2*b33**4*k1
*v2**2*v3**2 + 4*a22**2*b33**3*k1*n2*v2*v3**2 + 2*a22**2*b33**3*k10*n2*v2*v3**2
+ 4*a22**2*b33**2*k1*n2**2*v2**2 + 4*a22**2*b33**2*k10*n2**2*v2**2 - 8*a22*a33**
2*b33**3*k1*u3*v3**3 + 2*a22*a33*b33**4*k1*v1**4 + 4*a22*a33*b33**4*k1*v1**2*v2
**2 + 4*a22*a33*b33**4*k1*v1**2*v3**2 + 2*a22*a33*b33**4*k1*v2**4 + 4*a22*a33*
b33**4*k1*v2**2*v3**2 - 4*a22*a33*b33**3*k1*n2*v2*v3**2 - 2*a22*a33*b33**3*k10*
n2*v2*v3**2 - a33**2*b33**4*k1*v1**4 - 2*a33**2*b33**4*k1*v1**2*v2**2 - 2*a33**2
*b33**4*k1*v1**2*v3**2 - a33**2*b33**4*k1*v2**4 - 2*a33**2*b33**4*k1*v2**2*v3**2
)/(16*a22**4*(a22**2 - 2*a22*a33 + a33**2))$